东大 工学 数学复习

东大 工学 数学复习

一、背景介绍

一般教育科目“数学”是东京大学大学院工学系研究科三个一般教育科目之一(与各专攻专业课自主命题不同,这个是工学系统一的题目,工学系下的十几个专攻中,有很多都选择此作为衡量学生数学水平的标准。所以,虽然报考的专攻不同,但是数学试题的题目是相同的。

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此数学考试有两种形式,一种是把数学作为一个单独的考试科目,150分钟,从6道题中任选3题解答,这种形式是大多数专攻所使用的;另一种形式是把数学和专业课放在一起考,从6道题中任选2题解答,这种形式仅少数几个专攻使用(比如社会基盘学专攻,如果选择数学分野的题目解答的话,要在180分钟里解答2题数学和2题专业课。具体细节将在之后的文章中详细介绍,在此先略过)。本文主要介绍大多数专攻所使用的“6选3”的形式,即把数学作为一个单独的考试科目。

总共有6道题目。均为解答题,每道题目的考点不同:
第1题:微分方程;
第2题:线性代数;
第3题:复变函数;
第4题:微积分与几何;
第5题:傅里叶及拉普拉斯变换;
第6题:概率论。

二、各题目详细介绍

第1题:微分方程
这道题大致可以分为两种出题形式。第一种形式是直接给出1~3个微分方程,直接求解,有时还掺杂1~2个积分。这种出题方式简单粗暴,如果基础扎实的话,计算即可;但如果考到的正好是知识盲点,又不会临时推导,那就没办法了。不过总体来说,这种出题形式是比较简单的。
第二种形式是不直接求解,而是设置一个情境,在这个特定的情境下,让你跟着诱导一步步往下走,最终得到答案。这种题乍一看好像很复杂,实际上如果顺着诱导走的话就会发现也不是那么复杂(不过也有时候会发现的确很复杂)。这种情境下对综合分析能力有一定的要求。
由于在国内的教学中,大量训练的是第一种形式(直接求解)的题目,所以很多同学碰到第二种形式的题目时就比较犯怵。而且,这道题很多时候会考到向量、矩阵、联立微分方程,与国内的题目风格迥异,所以一定要事先训练,以免考场上受窘。另外需要注意的是,在这道题里,偶尔会考到偏微分方程,所以也要学习一下偏微分方程的知识。最后,一定要注意计算的准确度,东大的试题风格是计算量大,喜欢考递推、n次幂的积分等等。
第2题:线性代数
这道题的出题形式是比较固定的,与国内的试题风格不同,与日本其他学校的风格也不太一样。东大数学常考的内容有:
1)求特征值、特征向量、单位化的特征向量:非常重要,几乎每年必考;
2)相似对角化、正交相似对角化:非常重要,考得极为频繁。注意可相似对角化的条件,可正交化的条件。注意有时候需要用到Jordan标准形;
3)求矩阵A的n次幂、e的A次幂:本质上其实就是求逆矩阵和相似对角化,计算量较大,需要注意计算准确度;
4)与微分方程结合起来考:这个出题形式比较陌生但常考;
5)二次型:求二次型的矩阵,化二次型为标准型等;
6)最小二乘解:这个考点比较固定,不是很难;
7)证明题:在某个小问里,让你证明一些结论。
以上就是这道题大致的几个常考内容。做一些练习题之后就会发现套路比较固定,要求的知识点不算多。
第3题:复变函数
这道题经常考利用留数求积分等内容。 
第4题:微积分与几何
这道题主要结合几何体、空间曲线来考积分。大多数情况下是考空间曲线的长度、旋转体的体积及表面积、平面图形的面积、函数的最大值、曲线的大致形状等等。偶尔会与矩阵等知识结合起来考。高数的积分那几章学得好的话可以试一试选择这道题。这题容易读懂,但有时计算起来容易出错的细节很多,并且近年题目有变难的倾向,所以选择的时候要慎重。
第5题:傅里叶及拉普拉斯变换
这道题主要考傅里叶变换、拉普拉斯变换,以及微分方程、偏微分方程、积分方程的求解。每年都会在题目中给出基本的定义,诱导比较细致。这部分的知识点其实并不多,记住公式,然后做一些练习题即可。虽然看上去很难,但得一些分数还是很容易的,但是得满分并不容易。相对来说是比较独立的一个部分。
第6题:概率论
这道题每年难度波动很大。而且很多时候小问之间有连贯性,如果第一问算错了,那么接下来就都算错了。所以建议复习的时候可以把这道题作为备选,考试时根据难度决定要不要选。
总而言之,东大工学数学的特点是重视计算,计算量大,要注意把握好时间。另外需要注意的是,每道题的难易程度是独立的,与顺序无关。

三、备考书目及资料

关于备考资料,除了国内的教材以及过去问真题,楼主强烈推荐姬野俊一、陈启浩共著的《演習 大学院入試問題「数学」 I、II》。

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这本书对于报考东大的同学来说非常有用,因为里面包含了大量东大的过去问原题、改编题,并且附有解答过程以及各部分公式总结,是适很好的参考书,强烈建议购买。
但是这本书的缺点是,公式总结较简略,仅罗列,无推导过程,且有些内容讲得过深了。所以不建议一开始就用这本书复习,而是建议先用国内的教材打好基础后再看这本书。另外,有些日本的大学教的解题方法和国内教的方法不太一样,其实无论是哪种方法,适合自己就好,不必一定要用日本的方法解题。并且,这本书中有一些题目答案错误的地方,学习的过程中请留神。不过瑕不掩瑜,这本书仍然是极好的参考书。

所以,拿到备考资料后,建议先以国内的教材为主,把基础知识复习好,然后再以小黄书为主,逐渐适应东大的出题风格,学习专有名词的日语写法,提高解题熟练度;最后以近年过去问及其解答为主,总结提高。

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